Физика. 2 курс. Механика. Задача про грузик на пружинке и маятник. Грузик массой m = 100 г подвешен на пружинке длиной L = 0,5 м с коэффициентом
жесткости k = 200 Н/м. Грузик отвели в сторону до горизонтального положения и
отпустили. Найти растяжение пружинки x в нижней точке траектории.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи используйте закон сохранения энергии. Начнем с определения потенциальной энергии пружинки и потенциальной энергии тяжести, когда грузик ваше в нижней точке.

Потенциальная энергия пружинки при растяжении на величину ( x ):

[
E_{p1} = \frac{1}{2} k x^2
]

Потенциальная энергия тяжести в верхней позиции (горизонтальном положении), когда грузик находится на высоте ( h ):

[
E_{p2} = mgh
]

Здесь

( g ) - ускорение свободного падения, ( g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 ),( h ) - высота, на которую поднимается грузик. Для маятника, если отклонить его на расстояние ( L ), высота ( h ) будет равна ( L - \sqrt{L^2 - x^2} ) (грузик поднимется при отклонении на ( x ) из горизонтального положения).

Для маленького угла отклонения можно использовать приближение, при котором высота грузика скомпенсирована путём растяжения пружины:

Используя закон сохранения энергии, составьте уравнение:

[
\frac{1}{2} k x^2 = mgh
]

Подставьте значение ( h = x + L - L = x ):

[
\frac{1}{2} k x^2 = mgx
]

Сделаем подстановки:

[
k = 200 \, \text{Н/м}, \quad m = 0.1 \, \text{кг}
]

Подставим известные значения в уравнение:

[
\frac{1}{2} \cdot 200 \cdot x^2 = 0.1 \cdot 9.81 \cdot x
]

Упростим его:

[
100 x^2 - 0.981 x = 0
]

Для нахождения ( x ) можно вынести ( x ) за скобки:

[
x(100 x - 0.981) = 0
]

Это уравнение дает два решения:

( x = 0 ) (что соответствует исходному положению грузика),( 100 x = 0.981 ), откуда:

[
x = \frac{0.981}{100} = 0.00981 \, \text{м} \approx 9.81 \, \text{мм}
]

Таким образом, максимальное растяжение пружинки в нижней точке траектории составляет примерно 9.81 мм.