Закон сохранения импульса Шар свободно падает с высоты 3 м на точно такой же покоящийся на плоскости шар. После упругого соударения первый из шаров отскакивает вверх на высоту 1,2 м, а второй выходит из положения равновесия и откатывается в сторону. Вычислите, какой путь пройдёт второй шар до момента его остановки, если известно, что он остановится через 2 с после начала движения. Вычислите путь, который пройдёт второй шар за интервал времени, прошедший с момента соударения и до момента, когда первый шар снова упадёт на плоскость. Ускорение свободного падения считать равным g = 10 m/c2.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи воспользуемся законами сохранения энергии и импульса.

Шаг 1: Определим скорость первого шара перед столкновением.

Первый шар свободно падает с высоты 3 м. Применим закон сохранения механической энергии:
[
mgh = \frac{1}{2} mv^2
]
где (h = 3 \, \text{м}), (g = 10 \, \text{м/с}^2). Опуская массу (m) и решая уравнение относительно скорости v:
[
gh = \frac{1}{2} v^2 \implies v^2 = 2gh \implies v = \sqrt{2gh}
]
Подставим значения:
[
v = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 3} = \sqrt{60} = 7.75 \, \text{м/с} \, (\text{примерно})
]

Шаг 2: Найдем скорость первого шара сразу после соударения.

Первый шар поднимается на высоту 1.2 м после соударения. Опять используем закон сохранения механической энергии:
[
\frac{1}{2} mv_1^2 = mgh'
]
где (h' = 1.2 \, \text{м}). Опять же, опуская массу:
[
v_1^2 = 2gh' \implies v_1 = \sqrt{2gh'} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 1.2}
]
[
v_1 = \sqrt{24} \approx 4.9 \, \text{м/с}
]

Шаг 3: Найдем скорость второго шара.

По закону сохранения импульса:
[
mv = mv_1 + mv_2
]
где (v) — скорость первого шара до соударения, (v_1) — скорость первого шара после соударения, (v_2) — скорость второго шара. Подставляем полученные значения:
[
7.75 = 4.9 + v_2 \implies v_2 = 7.75 - 4.9 = 2.85 \, \text{м/с}
]

Шаг 4: Найдем путь, пройденный вторым шаром до остановки.

Зная скорость второго шара сразу после соударения ((v_2 = 2.85 \, \text{м/с})) и время его остановки (2 с), вычислим путь с помощью формулы:
[
S = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2
]
Здесь (v_0 = 2.85 \, \text{м/с}), (a) — ускорение, которого нет, потому что скорость уменьшается равномерно до нуля. Таким образом, при равномерном замедлении можно использовать формулу:
[
S = \frac{v_0 t}{2}
]
Подставим значения:
[
S = \frac{2.85 \cdot 2}{2} = 2.85 \text{ м}
]

Шаг 5: Найдем время, за которое первый шар вернется на плоскость.

Первый шар поднимается на 1.2 м, затем возвращается на плоскость. Время подъема можно рассчитать по формуле:
[
h = \frac{1}{2} g t^2 \implies t^2 = \frac{2h}{g} \implies t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1.2}{10}} \approx 0.49 \, \text{с}
]
Время на падение такое же, во время падения второй шар также движется. Таким образом, общее время:
[
T = 0.49 + 0.49 = 0.98 \, \text{с} \text{ (вверх+вниз)}
]

Шаг 6: Путь второго шара за это время.

Путь, пройденный вторым шаром, равен:
[
S_{2} = v_2 T = 2.85 \cdot 0.98 \approx 2.79 \, \text{м}
]

Итоговые результаты:Путь второго шара до остановки: 2.85 м.Путь, пройденный вторым шаром за интервал, пока первый шар не вернется на плоскость: 2.79 м.