Закон сохранения импульса
Пуля массой 4 г попадает в покоящуюся мишень, масса которой 340 г, и застревает в ней. Из-за чего мишень отклоняется от положения равновесия со скоростью 0,3 м/с. Известно, что на отклонение мишени ушло только 5 % импульса пули. Считая, что внутри мишени пуля движется равнозамедленно с ускорением 600 км/с2, вычислите расстояние, которое прошла пуля внутри мишени.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи используем закон сохранения импульса и уравнения кинематики.

Нахождение импульса пули:
Масса пули ( m_1 = 4 \, \text{г} = 0.004 \, \text{кг} ). Допустим, что скорость пули до столкновения равна ( v_1 ).

Импульс пули до столкновения:
[
p_1 = m_1 \cdot v_1
]

Импульс мишени до столкновения:
Масса мишени ( m_2 = 340 \, \text{г} = 0.34 \, \text{кг} ). Поскольку мишень покоится, её импульс до столкновения равен 0:
[
p_2 = 0
]

Импульс системы после столкновения:
Когда пуля застревает в мишени, их общая масса ( m_{total} = m_1 + m_2 = 0.004 + 0.34 = 0.344 \, \text{кг} ).

Пусть скорость системы после столкновения равна ( v{final} ). По условию, мишень отклоняется со скоростью ( 0.3 \, \text{м/с} ), и поскольку пуля застревает в мишени, общая скорость системы будет равна этой скорости:
[
v{final} = 0.3 \, \text{м/с}
]

Импульс системы после столкновения:
[
p{after} = m{total} \cdot v_{final} = 0.344 \cdot 0.3 = 0.1032 \, \text{кг} \cdot \text{м/с}
]

Сохранение импульса:
Из закона сохранения импульса можно записать:
[
p_1 + p2 = p{after}
]
Поскольку ( p_2 = 0 ), то:
[
p1 = p{after} \Rightarrow m_1 \cdot v_1 = 0.1032
]

Теперь вычислим ( v_1 ):
[
0.004 \cdot v_1 = 0.1032 \implies v_1 = \frac{0.1032}{0.004} = 25.8 \, \text{м/с}
]

Нахождение импульса, который передан мишени:
На отклонение мишени ушло 5 % импульса пули:
[
p_{мишени} = 0.05 \cdot p_1 = 0.05 \cdot 0.1032 = 0.00516 \, \text{кг} \cdot \text{м/с}
]

Расчет расстояния, пройденного пулей внутри мишени:
Теперь используем уравнение кинематики. Внутри мишени пуля движется равнозамедленно с ускорением ( a = -600 \, \text{км/с}^2 = -600000 \, \text{м/с}^2 ).

Начальная скорость пули во время движения внутри мишени:
[
v_{0} = 25.8 \, \text{м/с}
]

Конечная скорость при остановке:
[
v = 0
]

Используем уравнение движения:
[
v^2 = v_{0}^2 + 2a s
]
Подставляя известные значения:
[
0 = (25.8)^2 + 2 \cdot (-600000) \cdot s
]
[
0 = 665.64 - 1200000 s
]
Решаем относительно ( s ):
[
1200000 s = 665.64 \implies s = \frac{665.64}{1200000} \approx 0.0005547 \, \text{м} \approx 0.5547 \, \text{мм}
]

Таким образом, расстояние, которое прошла пуля внутри мишени, составляет примерно ( 0.5547 \, \text{мм} ).