Ударная часть молота массой 10 т свободно падает на стальную деталь массой 200 кг с высоты 2.5 м. если после ударов деталь нагрелась на 20 градусов, на нагревание расходуется 30% энергии молота. вопрос: сколько ударов надо?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи нам необходимо использовать законы сохранения энергии.

Первый закон сохранения энергии для данной задачи можно записать как:

(mgh = \frac{1}{2}mv^2 + Q + \Delta U),

где m - масса молота (10 т = 10000 кг),
h - высота падения (2.5 м),
v - скорость молота после удара,
Q - потери энергии на нагревание детали (30% от потенциальной энергии молота),
(\Delta U) - изменение внутренней энергии детали (будем считать это изменение равным (mc\Delta T), где c - удельная теплоемкость материала детали, а (\Delta T) - изменение температуры).

Так как масса молота гораздо больше массы детали, то после удара можно считать, что моментум молотка перед ударом равен моментуму молотка и детали после удара. Таким образом,

(mv = mv'),

где v' - скорость молотка и детали после удара.

Из закона сохранения энергии можно выразить скорость v:

(mgh = \frac{1}{2}m(v')^2 + Q + \Delta U),

(v = \sqrt{\frac{2(mgh - Q - \Delta U)}{m}}).

Теперь рассмотрим изменение температуры детали. Потери энергии на нагревание детали равны 30% от потенциальной энергии молота (Q = 0.3mgh).

Таким образом, (\Delta U = \frac{1}{2}mc(\Delta T)).

Из закона сохранения энергии также известно, что потенциальная энергия молота преобразуется в кинетическую энергию молота и детали, потери на нагревание и изменение внутренней энергии детали.

(mgh = \frac{1}{2}(m + M)(v')^2 + Q + \frac{1}{2}Mc(\Delta T)),

где M - масса детали (200 кг).

Подставим известные значения и найдем скорость молота и детали после удара:

(v = \sqrt{\frac{2(10000 \cdot 9.8 \cdot 2.5 - 0.3 \cdot 10000 \cdot 9.8 \cdot 2.5 - 0.2 \cdot 4200 \cdot 20)}{10000}}),

(v \approx 15.89 м/с).

Теперь можем рассчитать количество ударов, необходимых для нагревания детали на 20 градусов.

1 удар переводит кинетическую энергию во внутреннюю детали, так что:

(Q = 0.7mgh),

(Q = 0.7 \cdot 10000 \cdot 9.8 \cdot 2.5),

(Q \approx 17150 Дж).

Зная количество энергии, которое переходит в деталь за 1 удар, можно рассчитать количество ударов, необходимых для нагревания детали на 20 градусов:

(Q = Mc\Delta T),

(17150 \cdot N = 200 \cdot 4200 \cdot 20),

(17150N = 1680000),

(N \approx 98),

Таким образом, необходимо 98 ударов, чтобы нагреть деталь на 20 градусов.