Камень брошен горизвнтально со скоростью 10 м/с.Найдите радиус кривизны траектории камня через 3 с после начала движения.Считать g=9,8 м/с^2.Сопротивление воздуха не учитывается

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения радиуса кривизны траектории камня через 3 с после начала движения, мы можем воспользоваться уравнением для радиуса кривизны:

[ R = \dfrac{(1+(\frac{dy}{dx})^2)^{\frac{3}{2}}}{|\dfrac{d^2y}{dx^2}|} ]

где (\dfrac{dy}{dx}) - производная по времени y(t), а (\dfrac{d^2y}{dx^2}) - вторая производная по времени y(t), R - радиус кривизны.

Первым шагом выразим y(t) через x(t):

[ y(t) = y0 + V{0y}t - \dfrac{1}{2}gt^2 ]

[ y(t) = V_{0y}t - \dfrac{1}{2}gt^2 ]

где V_{0y} - вертикальная составляющая начальной скорости камня.

Теперь найдем производную (\dfrac{dy}{dx}) (скорость по y(t) через x(t)):

[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{dt} \cdot \dfrac{dt}{dx} = \dfrac{dy}{dt} \cdot \dfrac{1}{dx/dt} = \dfrac{V{0y} - gt}{V{0x}} ]

Теперь найдем вторую производную (\dfrac{d^2y}{dx^2}):

[ \dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{d}{dx}(\dfrac{dy}{dx}) = \dfrac{d}{dt}(\dfrac{dy}{dx}) \cdot \dfrac{dt}{dx} = \dfrac{d}{dt}(\dfrac{V{0y} - gt}{V{0x}}) \cdot \dfrac{1}{\dfrac{dx}{dt}} = - \dfrac{g}{V_{0x}} ]

Теперь подставим все значения в формулу для радиуса кривизны:

[ R = \dfrac{(1+(\dfrac{dy}{dx})^2)^{\frac{3}{2}}}{|\dfrac{d^2y}{dx^2}|} = \dfrac{(1 + (\dfrac{V{0y} - gt}{V{0x}})^2)^{\frac{3}{2}}}{|-\dfrac{g}{V_{0x}}|} ]

Подставляем известные значения и получаем радиус кривизны.