Тонкий стержень длиной 0,5 м под действием вращающего момента M=1 Н м вращается с угловым ускорением ε=3 рад/c2, относительно оси, проходящей через точку, находящуюся на расстоянии d=0,5A (A – длина стержня) от середины стержня перпендикулярно к его длине . Определить массу стержня.
Ответ: а) m=2 кг; б) m=3 кг; в) m=4 кг; г) m=5 кг; д) m=6 кг.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи давайте сначала определим моменты инерции и используем известные соотношения механики.

Дано:

Длина стержня ( A = 0.5 ) мМомент ( M = 1 ) Н·мУгловое ускорение ( \epsilon = 3 ) рад/с²Расстояние от середины стержня ( d = 0.5A = 0.25 ) мОпределение момента инерции.

Стержень имеет длину ( A ), и мы будем использовать формулу для момента инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец. Если момент инерции стержня относительно своей середины равен:

[
I_с = \frac{1}{12} m A^2,
]

то момент инерции относительно конца можно вычислить по формуле:

[
I = I_с + m \cdot \left( \frac{A}{2} \right)^2 = \frac{1}{12} m A^2 + m \cdot \left( \frac{A}{2} \right)^2.
]

Подставим длину стержня ( A = 0.5 ) м в эту формулу:

[
I = \frac{1}{12} m (0.5)^2 + m \cdot \left( \frac{0.5}{2} \right)^2 = \frac{1}{12} m \cdot 0.25 + m \cdot 0.0625 = \frac{1}{12} m \cdot 0.25 + \frac{1}{16} m.
]

Приведем к общему знаменателю:

[
I = \frac{1}{48} m + \frac{3}{48} m = \frac{4}{48} m = \frac{1}{12} m.
]

Используя второй закон Ньютона для вращательного движения:

[
M = I \cdot \epsilon.
]

Теперь подставим момент инерции и известные величины:

[
1 = \left( \frac{1}{12} m \right) \cdot 3.
]

Выразим массу ( m ):

[
1 = \frac{3}{12} m,
]

откуда

[
m = \frac{1 \cdot 12}{3} = 4 \text{ кг}.
]

Таким образом, масса стержня равна ( 4 ) кг, что соответствует варианту (в).