В тройном королевство имеет хождение только монеты по 9 и по 12 золотых Докажите что таким монетами нельзя набрать сумму по 50 золотых

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства этого утверждения воспользуемся обратным методом - докажем, что с помощью монет по 9 и 12 золотых нельзя набрать сумму по 50 золотых.

Предположим, что можно набрать 50 золотых с использованием только монет по 9 и 12 золотых.

Обозначим через a количество монет по 9 золотых, и через b количество монет по 12 золотых, которые мы использовали для набора суммы в 50 золотых. Тогда у нас есть система уравнений:

9a + 12b = 50 (1)

Так как мы исходим из предположения, что данная сумма может быть набрана, решим данное уравнение.

Домножим обе части на 2:

18a + 24b = 100 (2)

Из (1) и (2) следует:

18a + 24b = 100
9a + 12b = 50

Теперь выразим b через a из уравнения (1):

b = (50 - 9a)/12

Таким образом, количество монет по 12 золотых должно быть целым числом. Подставим это выражение в уравнение (1):

9a + 12(50-9a)/12 = 50

9a + 50 - 9a = 50
50 = 50

Это уравнение истинно для любого a, что означает, что мы не можем набрать сумму 50 золотых с помощью монет по 9 и 12 золотых.

Таким образом, утверждение подтвердилось.