Камень бросили вертикально вверх с некоторой начальной скоростью. На какой высоте его кинетическая энергия будет в 4 раза больше потенциальной, если максимальная высота подъёма камня составила 15м ? Сопротивление воздуха пренебречь

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть (E_p) - потенциальная энергия, (E_k) - кинетическая энергия.

На максимальной высоте потенциальная энергия камня равна его кинетической энергии:
[E_p = E_k]

Запишем выражения для потенциальной и кинетической энергии камня на высоте (h):
[E_p = mgh]
[E_k = \frac{1}{2}mv^2]

где (m) - масса камня, (g) - ускорение свободного падения, (v) - скорость камня.

Если кинетическая энергия камня в 4 раза больше потенциальной на высоте (h), то:
[4E_k = E_p]

Так как (Ek = \frac{1}{2}mv^2), то:
[2m(v{max})^2 = mgh]

Учитывая, что на максимальной высоте кинетическая энергия равна потенциальной, то (Ek = \frac{1}{2}m(v{max})^2 = E_p = mgh)

Отсюда получаем:
[2m(v{max})^2 = mgh]
[(v{max})^2 = 2gh]
[v_{max} = \sqrt{2gh}]

Находим скорость камня на максимальной высоте:
[v_{max} = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 15} = \sqrt{294} \approx 17.14 \ м/с]

Теперь найдем высоту, на которой кинетическая энергия камня будет в 4 раза больше потенциальной при вертикальном броске. Пусть эта высота равна (h_1).

[4E_k = E_p]
[2m(v_1)^2 = mgh_1]
Так как (E_k) и (Ep) равны на максимальной высоте:
[2m(v{max})^2 = mgh]

Следовательно,
[ \frac{2m(v_{max})^2}{2m(v_1)^2} = \frac{mgh}{mgh1}]
[\frac{2(v{max})^2}{(v_1)^2} = \frac{gh}{h_1}]
[\frac{2 \cdot 294}{(v_1)^2} = \frac{9.8 \cdot 15}{h_1}]
[\frac{588}{(v_1)^2} = \frac{147}{h_1}]
[4(v_1)^2 = h_1]

Отсюда ( h_1 = 4(v_1)^2 = 4 \cdot 294 = 1176)

Итак, на высоте 1176 м кинетическая энергия камня будет в 4 раза больше потенциальной.