Шар массы m, двигаясь со скоростью u налетает на другой покоящийся шар той же массы. После столкновения первый шар изменил направление движения на угол α. Найти скорости шаров после удара, если удар является абсолютно упругим.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть v1 и v2 - скорости шаров после удара. Так как удар абсолютно упругий, то можно записать закон сохранения импульса и закон сохранения энергии:

1) mu = mv1cos(α) + mv2
2) 1/2 m u^2 = 1/2 m v1^2 + 1/2 m v2^2

Решая эти уравнения, найдем v1 и v2:

mu = mv1cos(α) + mv2
u = v1*cos(α) + v2

1/2 m u^2 = 1/2 m v1^2 + 1/2 m v2^2
u^2 = v1^2 + v2^2

Заменяем u = v1*cos(α) + v2 во втором уравнении:

(v1cos(α) + v2)^2 = v1^2 + v2^2
(v1^2)(cos(α))^2 + 2v1v2cos(α) + v2^2 = v1^2 + v2^2
v1^2(cos(α))^2 + 2v1v2cos(α) + v2^2 - v1^2 - v2^2 = 0
v1^2((cos(α))^2 - 1) + 2v1v2cos(α) = 0
v1^2(-sin(α)^2) + 2v1v2cos(α) = 0
v1(-sin(α)^2 + 2v2cos(α)) = 0

Так как v1!=0 и sin(α)^2<1, то v2cos(α) = sin(α)^2 => v2 = sin(α)u
Подставляем это обратно в первое уравнение:

u = v1cos(α) + sin(α)u
v1 = u(1 - sin(α)cos(α))

Теперь можем найти v1 и v2:

v1 = u(1 - sin(α)cos(α))
v2 = sin(α)*u

Итак, скорость первого шара после удара: v1 = u(1 - sin(α)cos(α))
Скорость второго шара после удара: v2 = sin(α)*u