Из вершины А правильного треугольника ABC проведен к его плоскости перпендикуляр АМ. Точка М соединена с точками B и C. тангенс угла,образованного стороной МB с плоскостью треугольника ABC,равен 0,5. найдите двугранный угол, образованный плоскостями ABC и MBC

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи обратим внимание на то, что угол BAC прямой (так как треугольник ABC правильный) и угол BAM прямой (так как AM перпендикулярен плоскости ABC)
Таким образом, угол MAC прямой, а треугольник AMC - прямоугольный. Пусть угол MAC равен a, тогда угол MBC = 90 - a.

Из условия задачи тангенс угла BMA равен 0,5. Так как угол BMA = 90 - a, то tg(90 - a) = 0,5
С учетом того, что tg(90 - a) = cotg(a) получаем, что cotg(a) = 0,5.

Далее, рассмотрим треугольник AMC. tg(a) = AM/CM, где AM = AM, а CM = AC/2 (так как точка M - середина отрезка AC)
Таким образом, tg(a) = AM/(AC/2) = 2 * AM/AC. Заменяем AM на h (высоту треугольника ABC), а AC на 2h√3 (сторону треугольника ABC) и получаем tg(a) = 2h/(2h√3) = 1/√3.

Из этого следует, что cotg(a) = √3, т.е. a = 30 градусов
Тогда двугранный угол, образованный плоскостями ABC и MBC равен 90 - a = 90 - 30 = 60 градусов.