Диагонали четырехугольника разбивают его на четыре треугольника. Известно, что треугольники, прилежащие к двум противоположным сторонам четырехугольника, равновелики. Докажите, что данный четырехугольник - трапеция или параллелограмм.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть ABCD - данный четырехугольник, а AC и BD - его диагонали. Так как треугольники ABD и ACD равновелики, то у них соответственно равны две стороны и угол между ними: AB = AC, AD = AD (общая сторона) и угол BAC = угол CAD. Из этого следует, что треугольник ABC равен по сторонам треугольнику ADC и по углам также с равенством угла BCA = углу CDA.

Теперь рассмотрим треугольники BCD и BAD. У них также равны две стороны и угол между ними: BD = BA, BC = BC (общая сторона) и угол DBC = углу ABD. Из этого следует, что треугольник BCD равен по сторонам треугольнику BDA и по углам также с равенством угла CBD = углу BAD.

Таким образом, у треугольников ABD и ACD совпадают стороны AB = DC и AD = BC, а также углы BAC = CAD и BCA = CDA. Это означает, что у четырехугольника ABCD противоположные стороны параллельны, то есть данный четырехугольник является параллелограммом.

Теперь рассмотрим случай, когда противоположные стороны равны. Тогда треугольники ABC и ADC будут также равновелики, что означает, что у них равны две стороны и угол между ними, а значит, у четырехугольника также будут противоположные углы равными. То есть данный четырехугольник является трапецией.

Итак, доказано, что если треугольники, прилегающие к двум противоположным сторонам четырехугольника, равновелики, то данный четырехугольник будет либо трапецией, либо параллелограммом.