В конусе длина образующей равна 3 корня из 4, а угол при вершине осевого сечения равен 120 градусов. Через вершину конуса проведена плоскость. Какую наибольшую площадь может иметь сечение конуса такой плоскостью?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Площадь сечения конуса плоскостью зависит от угла $\alpha$, который образует плоскость с основанием конуса. Чем меньше угол $\alpha$, тем больше площадь сечения.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный образующей конуса, линией пересечения плоскости с конусом и высотой конуса. Угол при вершине этого треугольника равен $\alpha/2$, основание равно $3\sqrt{4} = 6$, а высота равна $4$.

[ \tan(\alpha/2) = \frac{4}{3\sqrt{4}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} ]

[ \alpha = 2 \arctan\left(\frac{2}{3}\right) \approx 62.2^\circ ]

Таким образом, наибольшая площадь сечения конуса плоскостью равна $6 \cdot 4 \cdot \sin(\alpha) = 24 \cdot \sin(62.2^\circ) \approx 21.94$.

Ответ: наибольшая площадь сечения конуса плоскостью равна примерно 21.94.