На сторонах AB,AC и BC треугольника ABC выбраны точки D,E и F соответственно так, что AD:DB=2:7, AE:EC=8:7, BF:FC=4:1. Отрезки CD и EF пересекаются в точке X. Чему равно отношение XF:XE?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем точки D, E и F.

Пусть отрезок AB равен 9x, тогда отрезок AC равен 15x, а отрезок BC равен 10x.

Так как AD:DB=2:7, то находим, что AD=29x/(2+7)=18x/9=2x, и DB=79x/(2+7)=63x/9=7x.
Аналогично, AE=815x/(8+7)=120x/15=8x, и EC=715x/(8+7)=105x/15=7x.
Также, BF=4*10x/(4+1)=40x/5=8x, и FC=10x.

Теперь найдем точку X. Так как CD и EF пересекаются в точке X, то по теореме Менелая имеем, что

ADFCEX+AFECDX+CFAEXD-AECFDX-AFAECX-CDFCEX=0.
Подставляем вычисленные значения:

2x10xEX+8x7xDX+7x15xXD-8x7xDX-8x15xCX-10x7xEX=0,
20x^2EX+56x^2DX+105x^2XD-56x^2DX-120x^2CX-70x^2EX=0,
20x^2EX+105x^2XD-120x^2CX-70x^2EX=0,
20x^2EX+105x^2XD-70x^2EX=120x^2CX,
20x^2EX+105x^2XD=70x^2EX+120x^2CX,
45x^2EX+105x^2XD=120x^2CX,
9x^2EX+21x^2XD=24x^2,
3x^2EX+7x^2XD=8x^2.

Теперь найдем отношение XF:XE. По теореме треугольника Симмедс получаем, что

XF/XE=FD/DE=1-DF/DE=1-DX/EX=1-(7x^2)/(8x^2)=1-(7/8)=1/8.

Ответ: XF:XE=1/8.