Найдите площадь сечения правильной четырехугольной пирамиды SABCD, где S - вершина пирамиды. плоскостью, проходящей через середины сторон SB, AB и BC, если все ребра пирамиды равны 8.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи нужно найти высоту данной пирамиды от вершины S до плоскости, проходящей через середины сторон SB, AB и BC.

Так как все ребра пирамиды равны 8, то каждое из треугольных грани прямоугольной четырехугольной пирамиды SABCD - прямоугольный треугольник.

Так как плоскость проходит через середины сторон SB, AB и BC, она разбивает правильную четырехугольную пирамиду на четыре равные трапеции.

Теперь обратимся к прямоугольному треугольнику ABC. Середина стороны BC - это D, поэтому расстояние от точки D до центра описанной окружности прямоугольного треугольника ABC равно радиусу окружности, то есть половина гипотенузы прямоугольного треугольника.

Рассмотрим равносторонний треугольник ASD, где AS = SD = а (ребро пирамиды, равное 8). Проведем медиану AD. Так как AD - медиана, она делит треугольник ASD на два равновеликих треугольника. Поскольку ASD - равносторонний треугольник, AD будет равносильной его высоте. Из прямоугольного треугольника DSA можно найти значение AD:

AD^2 + SD^2 = AS^2
AD^2 = AS^2 - SD^2 = a^2 - (a/2) ^2 = a^2 - a^2/4 = 3a^2/4
AD = a√3/2

Теперь вспомним о равнобедренной трапеции ABCD. Высота трапеции равна длине медианы AD. Площадь трапеции можно найти по формуле:

S = ((AB + CD) / 2) h = ((8 + 8) / 2) (a√3/2) = 8a√3/2 = 4√3a.

Так как a = 8 (длина ребра пирамиды), то S = 4√3 * 8 = 32√3.

Ответ: площадь сечения правильной четырехугольной пирамиды SABCD, где S - вершина пирамиды, плоскостью, проходящей через середины сторон SB, AB и BC, равна 32√3.