Докажите, что биссектриса внешнего угла, расположенная увершины равнобедренного треугольника параллельна основанию.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB=AC. Пусть D - точка пересечения биссектрисы внешнего угла треугольника ABC и продолжения стороны AC.

Так как угол BAD является внешним углом треугольника ABC, то он равен сумме внутренних углов при вершине A. Но так как у треугольника ABC равны стороны AB и AC, то внутренние углы треугольника ABC при вершине A равны. Следовательно, угол BAC=BAD (углы накрест лежащие при пересечении прямой и параллельной ей прямой), а значит BD=DC.

Теперь рассмотрим параллельные прямые: BC и AD. Так как угол ABC равен углу ACB (из-за равнобедренности треугольника ABC), то угол BDA равен углу ADC (угол накрест лежащий при пересечении прямых AD и BC). Тогда можно сделать вывод, что угол BDA также равен углу CBD, так как эти углы смежные и занимают внешние положения в вершинах треугольника ABC.

Получается, что у треугольника BCD углы BDC и CBD равны, а значит BD=DC и другие стороны равны. Следовательно, треугольник BCD равнобедренный. Но так как в нем угол BDC равен углу A (они должны быть равны, так как стороны BD и CD равны, а значит должны быть равны и углы), то и угол BCD равен углу ABC. Но по условию у треугольника ABC угол B равен углу C, а значит угол A равен углу B. Но у треугольника BCD угол A равен углу B, так как треугольник равнобедренный. Получается, что биссектриса внешнего угла треугольника ABC параллельна основанию треугольника ABC.