Высоты осроугольного треугольника ABC, проведенные из вершин A и C, пересекаются в точке H. Докажите, что если AH=CH, то треугольник ABC равнобедренный
Пусть высоты, проведенные из вершин A и C треугольника ABC, пересекаются в точке H. По условию, AH=CH.
Рассмотрим треугольники ACH и BCH.
Так как AH=CH, у этих треугольников совпадают гипотенузы AC и BC, и к ним проведены равнобедренные треугольники с основаниями AH и CH, соответственно.
Значит, у треугольников ACH и BCH равны гипотенузы и катеты, следовательно, эти треугольники равны. Тогда углы ACH и BCH равны между собой.
Так как углы ACB и BCA являются вершинами этих углов, то они также равны. Это означает, что треугольник ABC равнобедренный (два угла при основании равны).
Таким образом, если AH=CH, то треугольник ABC равнобедренный.
Доказательство:
Пусть высоты, проведенные из вершин A и C треугольника ABC, пересекаются в точке H. По условию, AH=CH.
Рассмотрим треугольники ACH и BCH.
Так как AH=CH, у этих треугольников совпадают гипотенузы AC и BC, и к ним проведены равнобедренные треугольники с основаниями AH и CH, соответственно.
Значит, у треугольников ACH и BCH равны гипотенузы и катеты, следовательно, эти треугольники равны. Тогда углы ACH и BCH равны между собой.
Так как углы ACB и BCA являются вершинами этих углов, то они также равны. Это означает, что треугольник ABC равнобедренный (два угла при основании равны).
Таким образом, если AH=CH, то треугольник ABC равнобедренный.