Биссектриса острого угла CDA трапеции ABCD пересекает сторону АВ в точке К. Из точки К проведен перпендикуляр КЕ к стороне CD так, что СЕ = 9 см, DE = 16 см. Найдите КЕ и стороны трапеции, если А = 90, К – середина АВ.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия задачи видим, что треугольник CDE прямоугольный, так как CE и DE являются катетами этого треугольника. Так как К – середина отрезка АВ, то мы знаем, что треугольник CAK также является прямоугольным, так как биссектриса треугольника CDA проведена из вершины C. Таким образом, у нас имеется подобие треугольников CAK и CDE.

Обозначим КЕ = х, CD = у.
Тогда CE:AK = 16:х = 9:(у/2) = CD:DA
16/х = 9/(у/2)
16/х = 18/у
у = 18x/16 = 9x/8

По теореме Пифагора в треугольнике CDE:
DE^2 = CD^2 + CE^2
16^2 = у^2 + 9^2
256 = (9x/8)^2 + 81
(9x)^2/64 = 256 - 81
81x^2 = 175
x = √(175/81) = 5√7/9

Таким образом, КЕ = 5√7/9 см.

Теперь можем найти стороны трапеции ABCD:
AK = 2 KE = 2 5√7/9 = 10√7/9
CD = 2 DE = 2 16 = 32
DA = AC = AK = 10√7/9
BC = CD - AK = 32 - 10√7/9

Итак, стороны трапеции ABCD равны:
AB = CD = 32 см
BC = 32 - 10√7/9 см
AD = AC = AK = 10√7/9 см