Основание треугольной пирамиды DABC – треугольник ABC, в котором АВ=13, ВС=14, АС=15. Все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60°. Найдите объем пирамиды.
Подсказка: рассмотреть два случая:
1) Высота пирамиды лежит внутри пирамиды;
2) Высота пирамиды лежит вне пирамиды.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Пусть высота пирамиды лежит внутри пирамиды, тогда ее можно провести из вершины D перпендикулярно плоскости основания ABC и обозначать ее h.

Так как у треугольника ABC известны все стороны, можно найти его площадь по формуле Герона:

p = (13 + 14 + 15) / 2 = 21

S_ABC = sqrt[21 x (21 - 13) x (21 - 14) x (21 - 15)] = sqrt[21 x 8 x 7 x 6] = 84

Теперь можем найти высоту пирамиды:

S_ABC = 1/2 x AB x h

84 = 1/2 x 13 x h

h = 12

Теперь найдем объем пирамиды:

V = 1/3 x S_ABC x h = 1/3 x 84 x 12 = 336

Ответ: V = 336

2) Пусть высота пирамиды лежит вне пирамиды, тогда ее можно продолжить за основание ABC и обозначить точкой M. Обозначим точку на основании перпендикуляра, опущенного из вершины D на линию AM – точкой N.

Так как у треугольника ABC известны все стороны, можем найти его площадь по формуле Герона (84). Теперь можем найти площадь треугольника DAN:

S_DAN = 1/2 x AD x h = 1/2 x 15 x h = 7.5h

Так как треугольник DAN подобен треугольнику ABC, то отношение площадей равно отношению квадратов сторон:

S_DAN / S_ABC = h^2 / AM^2

АМ = h x sqrt(S_ABC / S_DAN) = h x sqrt(84 / 7.5h) = h x sqrt(11.2)

Теперь можем найти объем пирамиды:

V = 1/3 x S_ABC x AM = 1/3 x 84 x 12 x sqrt(11.2) = 112 sqrt(14)

Ответ: V = 112 sqrt(14) ≈ 133.45.