В прямоугольном треугольнике ABC угол С=90º,BC=9,медианы треугольника пересекаются в т. О ,ОВ=10,Найти S треугольника ?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для площади треугольника через медианы.

Пусть точка O делит медиану BM в отношении a:b, тогда площадь треугольника ABC равна S = 3/4S1 + 3/4S2, где S1 и S2 - площади треугольников AOM и BOC соответственно.

Так как внутренний угол BOC прямой, то S2 = (1/2)BOCO = 10*6 = 60.

Заметим, что медиана BM делится точкой O в отношении 2:1, так как OM = 2*OV => a:b = 2:1.

Таким образом, S1 = (1/2)OAAM = (1/2)OA3OV = 3/2OA*OV.

Из подобия треугольников AMO и AMC следует, что OA:OC = 3:1, следовательно, OA = 3/4BM = 3/49 = 27/4.

Таким образом, S1 = 3/2(27/4)10 = 20.25.

Итак, S = 3/420.25 + 3/460 = 20.25 + 45 = 65.25.

Ответ: S = 65.25.