ABCD-вписанный четырёхугольник, причём AB/CD=2=(AD/BC)*AC=1. Найти BD.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку четырёхугольник ABCD вписанный, мы можем использовать теорему Пифагора для треугольников ABC и ADC:

AC^2 = AB^2 + BC^2, (1)
AC^2 = AD^2 + CD^2. (2)

Из условия AB/CD=2 и AD/BC=AC следует, что AB=2CD и AD=BC*AC. Подставляем это в уравнения (1) и (2):

AC^2 = (2CD)^2 + BC^2 = 4CD^2 + BC^2, (3)
AC^2 = (BC*AC)^2 + CD^2 = B^2C^2 + CD^2. (4)

Из уравнений (3) и (4) следует:

4CD^2 + BC^2 = B^2C^2 + CD^2.

Раскрываем квадрат BС^2:

4CD^2 + BC^2 = B^2C^2 + CD^2,
4CD^2 + BC^2 = B^2C^2 + CD^2.

Переносим все слагаемые содержащие BD в одну сторону:

BC^2 - B^2C^2 = CD^2 - 4CD^2,
BC^2(1 - BC) = CD^2(1 - 4),
BC^2(1 - BC) = -3CD^2.

Так как AB/CD=2, то BC=CD/2. Подставляем это в уравнение:

(CD/2)^2(1 - CD/2) = -3CD^2,
CD^2/4 (1 - CD/2) = -3CD^2,
CD^2(1 - CD/2) = -12CD^2,
CD - (CD^2)/2 = -12CD,
CD/2 = 12,
CD = 24.

Следовательно, BD = CD - BC = 24 - 24/2 = 24 - 12 = 12.

Ответ: BD = 12.