Трапеция АВСД описанная около окружности с центром в точке О, касается ее боковой стороны СД в точке К. Если известно СК=2 и КД=8 см, найдите площадь трапеции.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Площадь трапеции можно найти, зная длины диагоналей и высоту. Для этого воспользуемся формулой:

S = (a + b) * h / 2,

где a и b – основания трапеции, h – высота.

Мы знаем, что диагонали трапеции АВСД равны 2 и 8 см, что значит, что точка О – центр окружности, описанной вокруг данной трапеции, является точкой пересечения диагоналей и равноудалена от всех их вершин. Значит, мы можем разбить трапецию на 4 равнобедренных треугольника.

Пусть h1 - расстояние от точки O до боковой стороны AB, а h2 - расстояние от O до боковой стороны CD. Так же, h1 = h2 = h.

Поскольку треугольники равнобедренные, то они равны и прямоугольные. Значит, рассмотрим треугольник KOD. Он является прямоугольным, а из условия известно, что CD = 8, CK = 2, значит DK = 8 - 2 = 6. Так же, DK = DO sin(KDO) = DO sin45, значит, DO = 6 / sin 45.

Осталось найти площадь треугольника KOA или ODK, так как треугольника равнобедренные.

S(trapezoid) = 2S(triangle) = 2 1/2 CK DO sin(KCD).

Получим S(trapezoid) = CK DO sin(KCD) = 2 DO DO / sqrt(2) = 2 * (6 / sin45)^2 / sqrt(2).