Окружность касается сторон треугольника, длины которых равны 9, 10 и 11. Найдите длину наибольшего из отрезков, на которые точка касания делит сторону, равную 10.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка касания делит сторону длиной 10 на два отрезка x и 10-x. Тогда мы можем построить прямую, параллельную стороне 10, проходящую через точку касания и пересекающую стороны длиной 9 и 11. Обозначим длины отрезков, на которые эта прямая делит стороны длиной 9 и 11 через y.

По теореме о касательной и секущей линии, мы имеем, что квадрат длины отрезка, на который касательная делит секущую линию, равен произведению длин секущих линий. Таким образом, получаем уравнение:

x(10-x) = y^2

Также, по теореме о касательной и радиусе, длина отрезка, проведенного от точки касания к центру окружности, равна радиусу окружности. Обозначим радиус окружности через r.

Так как треугольник является прямоугольным, то можем воспользоваться формулой Пифагора:

r^2 = x^2 + y^2

Из соотношений выше, мы можем выразить x и y через r:

x = r - sqrt(r^2 - y^2)
y = sqrt((r - x)(r + x))

Теперь мы можем выразить x через y и r:

r - sqrt(r^2 - y^2) = y
(r - sqrt(r^2 - y^2))^2 + y^2 = 100

Здесь r - радиус равен максимальной длине отрезка, на который точка касания делит сторону 10. Решая это уравнение, можно найти значение r.