Докажите, что если радиус окружности, описанной около правильного восьмиугольника. равен R, то радиус окружности, вписанной в него, равен Rcos 22.5 градусов.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть AB – сторона вписанного восьмиугольника, r – радиус вписанной окружности, R – радиус описанной окружности.

Так как восьмиугольник правильный, то угол между любыми его сторонами равен 45 градусов.

Из условия задачи следует, что радиус описанной окружности равен R, а значит, радиус описанной окружности равен половине длины диагонали правильного восьмиугольника.

Проведем через центр окружности O, вписанной в восьмиугольник, радиус которой равен r, прямую, перпендикулярную AB. Эта прямая пересечет отрезок AB; пусть этот отрезок мы обозначим как CD. Отсюда следует, что радиус описанной окружности будет равен расстоянию от O до точки пересечения прямой и отрезка CD.

Следовательно, ODC – прямоугольный треугольник со сторонами R, r и Rcos 22.5 градусов.

Используя теорему косинусов для треугольника ODC, можем записать:

R^2 = r^2 + (Rcos 22.5)^2 – 2rcos ODC

Так как угол ODC равен 45 градусам, то cos 45 градусов равен sqrt(2)/2.

Подставляем все значения в формулу и получаем:

R^2 = r^2 + (Rcos 22.5)^2 – 2r * sqrt(2)/2

R^2 = r^2 + R^2 cos^2 22.5 – r sqrt(2)

R^2 - R^2 cos^2 22.5 = r^2 - r sqrt(2)

R^2 (1 - cos^2 22.5) = r^2 - r sqrt(2)

R^2 (sin^2 22.5) = r^2 - r sqrt(2)

R^2 (1 - cos45)/2 = r^2 - r sqrt(2)

R^2 (1 - sqrt(2)/2) = r^2 - r sqrt(2)

R = r - r * sqrt(2)

R = r(1 - sqrt(2))

r = R/(1 - sqrt(2)) = R(cos 22.5)

Следовательно, радиус вписанной окружности равен R * cos 22.5.