Боковая сторона равнобедренного треугольника, основания которого равно 4, делится точкой касания вписаной в него окружности в отношении 3:2 считая от вершины. Найдите периметр треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи обозначим стороны треугольника a, b, c (где a = c) и радиус вписанной окружности r.

Так как точка касания делят сторону b в отношении 3:2, то можно записать следующее
b = 3x и b = 2y, где x и y - отрезки, на которые сторона b делится в соответствующем отношении.

Также, сумма отрезков x и y равна стороне b
x + y = b

Используем формулу нахождения радиуса вписанной окружности в равнобедренном треугольнике
r = √((p-a) * a / 2)
где p - полупериметр треугольника.

Так как треугольник равнобедренный, то его полупериметр будет равен
p = (2b + a) / 2 = (2 * 3x + 4) / 2 = 3x + 2

Также, выразим сторону a через x
a = 4 - 2y = 4 - 2(b/2) = 4 - b = 4 - 3x.

Теперь можем найти радиус вписанной окружности
r = √((3x + 2 - (4 - 3x)) (4 - 3x) / 2) = √((5x - 2) (4 - 3x) / 2)

После нахождения радиуса можем найти периметр треугольника
P = 2b + 2a = 2 3x + 2 (4 - 3x) = 6x + 8 - 6x = 8

Итак, периметр треугольника равен 8.