Чему равна площадь S криволинейной трапеции, ограниченной осью Ox, прямыми x = -1, x = 2 и параболой y = 9 - x2?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения площади криволинейной трапеции можно посчитать интеграл функции, заданной уравнением параболы, на отрезке [-1,2] и затем вычесть из этого значения площадь прямоугольного треугольника, ограниченного осью Ox и прямыми x = -1, x = 2.

Итак, интеграл функции y = 9 - x^2 на отрезке [-1,2] равен:

∫(9 - x^2)dx = [9x - (x^3)/3] = 9x - x^3/3 |[-1,2]

Подставляем верхнюю и нижнюю границы:

(92 - 2^3/3) - (9(-1) - (-1)^3/3) = 18 - 8/3 + 9 + 1/3 = 27 - 7/3 = 72/3 - 7/3 = 65/3

Теперь найдем площадь прямоугольного треугольника. Она равна S1 = (1/2)основаниевысота. Основание равно 3, высота равна 9.
S1 = (1/2)39 = 13.5

Итак, S = S2 - S1 = 65/3 - 13.5 = 65/3 - 40.5 = 4.17...

Ответ: Площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ox, прямыми x = -1, x = 2 и параболой y = 9 - x^2, равна примерно 4.17.