Найдите промежутки монотонности и экстремума функции: [tex]y=x^3+x^2+10x[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения промежутков монотонности и экстремума данной функции сначала найдем производную функции:
[tex]y' = 3x^2 + 2x + 10[/tex]

Далее приравняем производную к нулю:
[tex]3x^2 + 2x + 10 = 0[/tex]

Дискриминант этого уравнения равен:
[tex]\Delta = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 4 - 120 = -116[/tex]

Дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней, а значит экстремумов нет.

Далее исследуем промежутки монотонности с помощью знаков производной на каждом промежутке:

Берем произвольное число из меньше, чем -2, например -3:
[tex]y'(-3) = 3 \cdot (-3)^2 + 2 \cdot (-3) + 10 = 27 - 6 + 10 = 31 > 0[/tex]
Производная положительна на промежутке (-∞, -2).

Берем произвольное число из промежутка -2 до 1, например 0:
[tex]y'(0) = 3 \cdot 0^2 + 2 \cdot 0 + 10 = 10 > 0[/tex]
Производная положительна на промежутке (-2, 1).

Берем произвольное число больше 1, например 2:
[tex]y'(2) = 3 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 + 10 = 12 > 0[/tex]
Производная положительна на промежутке (1, +∞).

Итак, функция [tex]y=x^3+x^2+10x[/tex] возрастает на промежутках (-∞, -2) и (-2, +∞).