В треугольнике ABC биссектриса угла BAC равна 4. Окружность, построенная на этой биссектрисе как на диаметре, делит стороны AB и AC в отношении 2:1 и 1:1, считая от точки A. Найти площадь треугольника ABC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим точку, в которой окружность, описанная на биссектрисе угла BAC, пересекает сторону AB, как D, а точку пересечения окружности со стороной AC – как E.

Так как окружность построена на биссектрисе угла BAC как на диаметре, то угол ADE – прямой. Значит, $\angle DAE = 90^{\circ}$.

Также по условию известно, что AD = 2 и AE = 1. Так как угол DAE прямой, а AD = 2 и AE = 1, то по теореме Пифагора получаем DE = $\sqrt{AD^2 - AE^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$.

Теперь заметим, что треугольник ADE – прямоугольный, значит, площадь треугольника ABC равна S = $\frac{1}{2}ADAE = \frac{1}{2}21 = 1$.

Итак, площадь треугольника ABC равна 1.