В равносотороннем треугольника начерчен круг радиусом 5 см. Найдите площадь треугольника

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи нам необходимо разделить треугольник на 3 равносторонних треугольника с углом в центре круга в вершине каждого такого треугольника. Эти треугольники будут иметь высоту, равную радиусу круга (5 см) и основание, равное стороне треугольника.

Так как высота равностороннего треугольника делит его на два равнобедренных треугольника, то каждый из таких равнобедренных треугольников будет иметь катет, равный радиусу круга (5 см), а гипотенуза будет равна половине стороны треугольника.

По теореме Пифагора можем найти длину стороны треугольника:

(a^2 = b^2 + c^2)

(a = \sqrt{25 + \left(\frac{10}{2}\right)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2})

Теперь можем найти площадь равностороннего треугольника:

(S = \frac{a \cdot h}{2} = \frac{5\sqrt{2} \cdot 5}{2} = \frac{25\sqrt{2}}{2} = 12.5\sqrt{2} \approx 17.68) см²

Учитывая то, что наш первоначальный треугольник состоит из трех таких равносторонних треугольников, можем найти общую площадь равностороннего треугольника:

(S_{\text{общ}} = 3 \cdot S = 3 \cdot 12.5\sqrt{2} = 37.5\sqrt{2} \approx 52.69) см²

Итак, площадь равностороннего треугольника, в который можно вписать круг радиусом 5 см, составляет примерно 52.69 см².