В параллелограмме ABCD угол C − острый. Точка E лежит на стороне AB так, что AE:EB=2:3. Найдите отношение площади четырехугольника AECD к площади треугольника BCE соответственно.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим стороны параллелограмма как a и b, тогда его площадь равна S = a* h, где h - высота, опущенная на основание.

Так как угол C острый, то треугольник BCE - прямоугольный. Пусть h1 и h2 - высоты, опущенные на стороны AB и BC соответственно. Тогда S_BCE = 0.5 BC h1 = 0.5 AE h2.

Так как AE:EB=2:3, то AE = 2k, EB = 3k. По теореме Пифагора в треугольнике ABE: AE^2 = a^2 + k^2, поэтому h1 = k.

Из теоремы Пифагора в треугольнике EBC: BC^2 = b^2 + k^2, а из подобия треугольников CEB и DCE: h2 = 3k.

Отсюда S_BCE = 0.5 AE h2 = 0.5 2k 3k = 3k^2.

Теперь найдем S_AECD. Площадь треугольника ADC равна 0.5 a h2 = 0.5 a 3k = 1.5ak. При этом S_AECD = S - S_ADC = a*h - 1.5ak = a(h - 1.5k).

Наконец, отношение S_AECD к S_BCE равно:
(a(h - 1.5k))/(3k^2) = (h - 1.5k)/(3k) = h/3k - 0.5

Таким образом, отношение площади четырехугольника AECD к площади треугольника BCE равно h/3k - 0.5.