Одна окруж­ность впи­са­на в пря­мо­уголь­ную тра­пе­цию, а вто­рая ка­са­ет­ся боль­шей бо­ко­вой сто­ро­ны и про­дол­же­ний ос­но­ва­ний. а) найдите расстояние между центрами окружностей если большая боковая сторона трапеции равна 17 б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны од­но­го из пря­мых углов тра­пе­ции до цен­тра вто­рой окруж­но­сти, если точка ка­са­ния пер­вой окруж­но­сти с боль­шей бо­ко­вой сто­ро­ной тра­пе­ции делит её на от­рез­ки, рав­ные (17-корень из 93/2) и (17+корень из93/2). 2 в знаменателе, все остальное в числителе

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Пусть (O_1) и (O_2) - центры окружностей. Расстояние между центрами окружностей равно сумме радиусов, так как они касаются большей боковой стороны трапеции. Пусть (r_1) - радиус первой окружности, (r_2) - радиус второй окружности. Тогда имеем:

(r_1 = \frac{1}{2} \cdot \text{Высота трапеции})

(r_2 = \frac{1}{2} \cdot \text{Меньшая боковая сторона трапеции})

Так как большая боковая сторона трапеции равна 17, а меньшая неизвестна, то из подобия треугольников следует, что:

(\frac{17}{r_2} = \frac{17}{r_1} \Rightarrow r_2 = \frac{r_1}{17} \cdot 17 = r_1)

Следовательно, расстояние между центрами окружностей равно (r_1 + r_2 = 2r_1 = \text{Высота трапеции})

б) Пусть (A) - вершина прямого угла трапеции, (C) - центр второй окружности, (D) - точка касания первой окружности с большей боковой стороны трапеции. Требуется найти расстояние (AC).

Так как точка (D) делит отрезок (AB) (где (B) - середина большей боковой стороны) в соотношении (17-\sqrt{\frac{93}{2}} : 17+\sqrt{\frac{93}{2}}), то:

(\frac{AD}{BD} = \frac{17+\sqrt{\frac{93}{2}}}{17-\sqrt{\frac{93}{2}}})

Так как радиус первой окружности равен (r_1 = \frac{1}{2}\cdot\text{Высота трапеции}), то (BD = \frac{17}{2}). Из подобия треугольников (ADB) и (ADC) следует, что:

(\frac{AD}{17/2} = \frac{17+\sqrt{\frac{93}{2}}}{17-\sqrt{\frac{93}{2}}})

Таким образом, (AD = \frac{17}{2} \cdot \frac{17+\sqrt{\frac{93}{2}}}{17-\sqrt{\frac{93}{2}}})

Наконец, расстояние (AC = 2 \cdot AD) (так как треугольники (ACD) и (ABD) подобны), и окончательно:

(AC = 2 \cdot \frac{17}{2} \cdot \frac{17+\sqrt{\frac{93}{2}}}{17-\sqrt{\frac{93}{2}}})