В прямоугольный треугольник вписана окружность, каксательная делит меньший катет на 1 и корень из 3, найдите угоы треугольника

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть катеты треугольника равны a и b (где a > b), а гипотенуза равна c.

Так как окружность касательная к большему катету, то её радиус равен половине этого катета: r = b/2
Также известно, что r = √3, поэтому получаем, что b/2 = √3 => b = 2√3.

Теперь рассмотрим треугольник, образованный радиусом окружности, гипотенузой и частью меньшего катета
a = a, b = 2√3, c = a + 2√3.

Касательная разбивает меньший катет на две части, пропорциональные катетам, а значит, она делит меньший катет a на части a - b и b
Из этого факта составляем пропорцию: a - b:b = c:a => (a - 2√3):2√3 = a + 2√3:a

Решая эту пропорцию, получаем a = 6√3. Теперь можем найти углы треугольника:

sinA = a/c = 6√3/(6√3 + 2√3) = 6/(6 + 2) = 3/
A = arcsin(3/4) ≈ 48.59°

sinB = b/c = 2√3/(6√3 + 2√3) = 2/(6 + 2) = 1/
B = arcsin(1/4) ≈ 14.48°

C = 180° - A - B ≈ 180° - 48.59° - 14.48° ≈ 116.93°

Итак, углы треугольника равны приблизительно 48.59°, 14.48° и 116.93°.