В прямоугольном треугольнике с площадью S=2 см^2 из вершины прямого угла проведены высота и медиана, угол между которыми равен sin=15/17 Найдите длину гипотенузы данного прямоугольного треугольника

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем длину прямой, проведенной из вершины прямого угла, которая делит гипотенузу на две равные части. Обозначим эту длину как x.

Так как угол между медианой и высотой равен sin=15/17, то это означает, что отношение длины медианы к высоте равно 15/17.

$$\frac{x}{h} = \frac{15}{17}$$

Также известно, что площадь прямоугольного треугольника равна:

$$S = \frac{1}{2} \cdot x \cdot h = 2$$

Отсюда находим:

$$x \cdot h = 4$$

Также из свойств прямоугольного треугольника:

$$x^2 + h^2 = c^2$$

где с - гипотенуза, которую нам нужно найти.

Имеем систему двух уравнений:

$$\left
\begin{aligned
x \cdot h &= 4 \nonumber
x^2 + h^2 &= c^2 \nonumbe
\end{aligned
\right.$$

Учитывая, что x = 15h/17, тогда:

$$\frac{15h}{17} \cdot h = 4$$

$$\Rightarrow h^2 = \frac{17 \cdot 4}{15} = \frac{68}{15}$$

$$h = \sqrt{\frac{68}{15}} = \frac{2\sqrt{17}}{3}$$

Также найдем длину х:

$$x = \frac{15h}{17} = \frac{15}{17} \cdot \frac{2\sqrt{17}}{3} = \frac{10}{\sqrt{3}}$$

Теперь можем найти гипотенузу:

$$c^2 = x^2 + h^2 = \left(\frac{10}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{2\sqrt{17}}{3}\right)^2 = \frac{100}{3} + \frac{68}{9} = \frac{300 + 68}{9} = \frac{368}{9}$$

$$c = \sqrt{\frac{368}{9}} = \frac{4\sqrt{23}}{3}$$

Итак, длина гипотенузы равна: $$c = \frac{4\sqrt{23}}{3} см$$