№3. Все плоские углы при вершине S пирамиды SABCD равны 60°. Около этой пирамиды описан конус с радиусом основания √3 и вершиной S. На меньшей дуге BC, окружности основания конуса, выбрана точка P. Найдите расстояние от точки P до плоскости SAB, если объём пирамиды SABPCD наибольший.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку все плоские углы при вершине S пирамиды SABCD равны 60°, то эта пирамида является правильной четырёхугольной пирамидой. Это означает, что боковая грань SAB является равносторонним треугольником.

Поскольку SAB является равносторонним треугольником, то высота SAB выходит из вершины S и делит треугольник SAB на два равновеликих прямоугольных треугольника. Таким образом, расстояние от точки P до плоскости SAB будет равно расстоянию от точки P до прямой AB, проходящей параллельно плоскости SAB и проходящей через S.

Чтобы найти расстояние от точки P до прямой AB, обратимся к подобию треугольников. Пусть H - проекция точки P на плоскость SAB. Тогда найдём высоту SAB (означим за h) с помощью основания AB, которое равно радиусу этого правильного равностороннего треугольника.

Поскольку AB равно √3, то в прямоугольном треугольнике SAH мы имеем:

tan(30°) = h / √
1/√3 = h / √
h = 1

Таким образом, расстояние от точки P до плоскости SAB равно 1.