В правильной четырехугольной пирамиде ребро основания равно 6, а апофема равна 5. Найдите радиус вписанной в пирамиду сферы.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения радиуса вписанной в пирамиду сферы воспользуемся формулой для объема пирамиды, которая равна одной трети произведения площади основания на высоту.

Объем пирамиды V = (1/3) S h,

где S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.

Для четырехугольной пирамиды площадь основания равна 6*6 = 36, так как у нас ребро основания равно 6.

Также из геометрии пирамиды известно, что высота h равна \sqrt{a^2 - r^2}, где a - апофема (в данном случае 5), r - радиус вписанной в пирамиду сферы.

Таким образом, V = (1/3) 36 \sqrt{5^2 - r^2} = 12 * \sqrt{25 - r^2}.

Но мы также знаем, что объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту, поэтому:

12 * \sqrt{25 - r^2} = 36.

Теперь найдем радиус r:

\sqrt{25 - r^2} = 3.

Итак, 25 - r^2 = 9,

r^2 = 16,

r = 4.

Итак, радиус вписанной в пирамиду сферы равен 4.