№7.Дана правильная треугольная пирамида SABC, у которой сторона основания AB=9, а боковое ребро SB=3√19. Найдите угол образованный плоскостью основания ABC и прямой AM, где M - центр тяжести треугольника SBC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем высоту треугольника SBC, проходящую через точку M.

Т.к. AM делит медиану треугольника пополам, то BM = MC. Пусть BM = MC = x. Тогда CM = 3√19 - x.

Заметим, что треугольник SMC прямоугольный, так как SM - медиана и проведена к основанию под углом прямым.
Из пропорции треугольника SMC найдем x:

3/SM = x/MS
3/SM = x/(3√19 - x)
3(3√19 - x) = xSM
9√19 - 3x = xSM
SM = (9√19 - 3x) / x

Также заметим, что треугольник SBC и прямоугольный треугольник SMC подобны. Т.е. отношение сторон треугольников равно:

SB/BC = SC/CM = BC/MC

3√19/9 = 9/(3√19 - x) = 9/(3√19 - x)

Отсюда находим x = √19

Теперь посчитаем угол между плоскостью основания и прямой AM. Для этого посчитаем косинус этого угла. Для этого находим косинус угла между векторами BM и BC

BC = 9, BM = √19, угол между векторами = угол B = 60 градусов.

cos(60) = BMBC / (|BM||BC|)
cos(60) = √19 9 / (9 * √19)
cos(60) = 1

Угол между плоскостью основания и прямой AM равен 30 градусов.