Дана правильная треугольная пирамида со стороной основания 12. Боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом 30°. Найдите объем описанного около пирамиды конуса.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем высоту треугольной пирамиды. Поскольку боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом 30°, то мы можем разложить треугольную пирамиду на два прямоугольных треугольника
Высота треугольной пирамиды равна высоте одного из этих прямоугольных треугольников
cos(30°) = h / 12
h = 12 * cos(30°) = 10.39.

Теперь найдем радиус описанной около пирамиды сферы. Поскольку сфера описана около треугольной пирамиды, ее радиус равен радиусу вписанной сферы в пирамиду. Радиус вписанной в треугольную пирамиду около основания сферы равен 1/3 высоты пирамиды
r = h / 3 = 10.39 / 3 = 3.46.

Теперь найдем объем конуса с таким радиусом
V = 1/3 π r^2 h = 1/3 π (3.46)^2 10.39 ≈ 39.93.

Ответ: объем описанного около пирамиды конуса равен примерно 39.93.