В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки C и D , а на окружности другого - D1 и F1 , причем DD1 - образующая цилиндра, а отрезок CF1 пересекает ось цилиндра. Найдите расстояние d от точки D до прямой CF1 , если CD=12 , DD1=15 , D1F1=16 . В ответе укажите значение выражения d481√ .

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим через A и B точки пересечения отрезков CD и D1F1 с образующей DD1 соответственно. Так как CD и D1F1 - хорды окружностей, пересекающие ось цилиндра, то точки A и B являются серединами соответствующих хорд. Из этого следует, что AC = 6, DD1 = 15, D1F1 = 16 и BD = 8.

Так как прямая CD перпендикулярна к образующей цилиндра DD1, то треугольник ACD прямоугольный. По теореме Пифагора находим AC = √(AD^2 - CD^2) = √(15^2 - 6^2) = √(225 - 36) = √189 = 3√21.

Теперь рассмотрим треугольник BDD1. По теореме Пифагора находим BD = √(DD1^2 - BD^2) = √(15^2 - 8^2) = √(225 - 64) = √161.

Теперь используем подобие треугольников BDD1 и CF1D. Пусть E - точка пересечения DD1 и CF1. Тогда CF1 = DE + EF1 = DE + AF1 - AE = BD + D1F1 - AC = 8 + 16 - 3√21 = 24 - 3√21.

Таким образом, мы получили, что CF1 = 24 - 3√21. Поскольку CF1 перпендикулярна DE, а CE = 3√21, то DCF1 - прямоугольный треугольник. Из этого можем записать:

d^2 = DC^2 - CF1^2 = 12^2 - (24 - 3√21)^2 = 144 - (576 - 144√21 + 189) = 144 - 576 + 144√21 - 189 = -432 + 144√21 - 189 = -621 + 144√21.

Итак, d = √(-621 + 144√21) = √(14421 - 621) = √(3024 - 621) = √2403 = √(9267) = 3√267.

Ответ: d = 3√267.