Вычислить площадь, ограниченную кривыми [tex]y=ln(x) ,x=e,y=0[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления площади, ограниченной кривыми [tex]y=ln(x) ,x=e,y=0[/tex], мы должны найти площадь фигуры, ограниченной кривой [tex]y=ln(x)[/tex], осью x и прямой x=e.

Сначала найдем точку пересечения кривой [tex]y=ln(x)[/tex] и прямой x=e
Подставим x=e в уравнение y=ln(x)
y=ln(e) =
Точка пересечения будет (e, 1).

Теперь нужно посчитать интеграл от y=ln(x) на отрезке [0,e]
[tex]\int_{0}^{e} ln(x)dx[/tex]

Мы можем воспользоваться методом интегрирования по частям
[tex]\int u dv = uv - \int v du[/tex]

Возьмем u=ln(x) и dv=dx, тогд
[tex]du = \frac{1}{x}dx[/tex
[tex]v = x[/tex]

Подставляем значения и интегрируем
[tex]\int ln(x)dx = xln(x) - \int x \cdot \frac{1}{x}dx = xln(x) - \int dx = xln(x) - x[/tex]

Вычисляем значение определенного интеграла
[tex]\int{0}^{e} ln(x)dx = [xln(x) - x]{0}^{e} = e\cdot ln(e) - e - (0 - 0) = e\cdot 1 - e = e - e = 0[/tex]

Итак, площадь, ограниченная кривыми [tex]y=ln(x) ,x=e,y=0[/tex], равна 0.