Доказать, что биссектрисы двух углов с соответственно перпендикулярными сторонами взаимно перпендикулярны.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть у нас есть треугольник ABC, у которого угол CAB и угол ABC имеют соответственно перпендикулярные стороны. Обозначим биссектрисы этих углов как AD и BE.

Для начала докажем, что угол DAE равен углу EBD.

Поскольку AD и BE являются биссектрисами углов CAB и ABC соответственно, мы знаем, что угол DAE равен углу BAE и угол EBD равен углу ABE.

Теперь рассмотрим треугольник ABE. Мы знаем, что углы AED и EBD равны, так как они соответственные. А также углы DAE и AEB равны друг другу. Значит, треугольник ABE равнобедренный.

Так как углы AED и EBD равны, то им соответствуют равные дуги на окружности, к которой принадлежат стороны AB и AE. Аналогично, углы DAE и AEB равны, а значит равны и их дуги на окружности.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Из равнобедренности треугольника ABE следует, что углы ABC и ACB также равны, а значит равны и соответствующие им дуги на окружности, что является противоположными углами у вершины треугольника ABC.

Тогда получаем, что углы DAE и EBD также являются противоположными углами у вершины, что означает, что биссектрисы AD и BE взаимно перпендикулярны.

Таким образом, мы доказали, что биссектрисы двух углов с соответственно перпендикулярными сторонами взаимно перпендикулярны.