Найти некоторый базис системы векторов. Все векторы системы, которые не принадлежат этому базису, выразить через векторы базиса:[tex]a_{1} = (1;2; 3; -4); a_{2} = (2;3; -4; 1); a_{3} = (2; -5; 8; -3); a_{4}= (5; 26;-9; -12);a_{5}= (3; -4; 1; 2).[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения базиса системы векторов необходимо проверить их линейную независимость.

Составим матрицу из данных векторов и приведем ее к ступенчатому виду:

[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 5 & 3 \
2 & 3 & -5 & 26 & -4 \
3 & -4 & 8 & -9 & 1 \
-4 & 1 & -3 & -12 & 2
\end{pmatrix} \sim
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 5 & 3 \
0 & -1 & -9 & 16 & -10 \
0 & -10 & 2 & -24 & -8 \
0 & 9 & 5 & 8 & 14
\end{pmatrix} \sim
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & 5 & 3 \
0 & 1 & 9 & -16 & 10 \
0 & 0 & 92 & 136 & 92 \
0 & 0 & 77 & -152 & 77
\end{pmatrix}
]

Получили, что первые два вектора линейно независимы, а все остальные могут быть выражены через них.

Таким образом, базис составляют векторы:

[b{1} = (1;2;3;-4), b{2} = (2;3;-4;1)]

Выразим остальные векторы через базис:

[a{3} = b{1} - 3b_{2} = (1;2;3;-4) - 3(2;3;-4;1) = (1;2;3;-4) - (6;9;-12;3) = (-5;-7;15;-1)]

[a{4} = 2b{1} - 5b_{2} = 2(1;2;3;-4) - 5(2;3;-4;1) = (2;4;6;-8) - (10;15;-20;5) = (-8;-11;26;-13)]

[a{5} = -b{1} + b_{2} = -(1;2;3;-4) + (2;3;-4;1) = (-1;-2;-3;4) + (2;3;-4;1) = (1;1;-7;5)]