Сторона АВ квадрата ABCD является гипотенузой равнобедренного прямоугольного треугольника АЕВ, причём угол DAE- тупой. Прямая ЕС пересекает сторону AB в точке N. Прямая, проходящая через точку N перпендикулярно прямой ЕС,пересекает отрезок AD в точке F. Найдите AF, если площадь треугольника AEB равна 81.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Площадь треугольника AEB равна 81, так как это равнобедренный прямоугольный треугольник. Поэтому высота, опущенная из вершины A на основание EB, равна 9 (так как площадь треугольника равна половине произведения катетов).

Так как треугольник AEB равнобедренный, то высота также является медианой, биссектрисой и высотой. Таким образом, сторона AE также равна 9.

Также заметим, что угол A равен 45 градусам, так как это прямоугольный треугольник с катетами, равными 9.

Теперь обратим внимание на треугольник AEN. По условию, сторона AB является гипотенузой этого треугольника, поэтому AE = EN = 9.
Таким образом, треугольник AEN является равносторонним, и угол AEN равен 60 градусам.

Так как прямая EN перпендикулярна прямой ES, то угол ENS также равен 90 градусов.

Из равностороннего треугольника AEN следует, что угол ANE также равен 60 градусам, поэтому угол FAN равен 60 градусам.

Теперь, так как угол A равен 45 градусам, а угол FAN равен 60, угол FAE равен 15 градусам.

Таким образом, треугольник AFE является равнобедренным с углом в 15 градусов. Значит, AF равно FE.
Из равностороннего треугольника AEN следует, что AN равно 9.

Из того, что угол FAE равен 15 градусам, следует, что угол NAF также равен 15 градусам. Таким образом, треугольник NAF является равнобедренным, и AF равно NF.

Таким образом, AF = NF = FE. Так как сторона FE равна 9 (как и сторона AE), то AF = NF = FE = 9.

Итак, AF = 9.