Центры трёх попарно касающихся друг друга внешним образом окружностей расположены в точках А, В и С, ABC = 90°. Точки касания К, Р и М; точка Р находится на стороне АС. Найдите угол КРМ.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что треугольник КРМ – прямоугольный, так как он является прямым углом между касательными, проведенными из точки касания к окружности.

Поскольку окружности соприкасаются внешним образом, то радиусы окружностей проведены к точке касания перпендикулярно и образуют касательные. Следовательно, треугольник КРМ – прямоугольный.

Так как АВС – прямоугольный, то угол КРМ будет равен сумме углов КРА и РМА. Аналогично, угол КРА равен сумме углов КАП и РАП, а угол ПАР – прямому углу, так как радиус окружности перпендикулярен касательной.

Итак, угол КРМ = угол КАП + угол РАП + угол РМА = (90 - угол КАП) + (90 - угол РАП) = 180 - угол КАП - угол РАП.

Поскольку угол КАП = угол ПАБ (как соответственные углы), угол РАП = угол РАС (как соответственные углы), то угол КАП + угол РАП = угол ПАС.

Угол ПАС = 90 градусов (как прямой угол в треугольнике АВС).

Итак, угол КРМ = 180 - 90 = 90 градусов.

Итак, угол КРМ равен 90 градусов.