Найдите площадь равностороннего треугольника, вписанного в окружность, если сторона квадрата,описанного около этой окружности равна 6√2см

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Площадь равностороннего треугольника равна ( \frac{a^2\sqrt{3}}{4} ), где ( a ) - длина стороны треугольника.

По условию задачи, сторона квадрата, описанного около окружности равна 6√2 см. Так как диагональ квадрата равна диаметру окружности, то диаметр окружности равен ( 6\sqrt{2} ) см.

Половина диаметра (радиус) равна ( 3\sqrt{2} ) см. Радиус равен апофеме треугольника (расстояние от центра окружности до середины стороны). Так как мы имеем равносторонний треугольник, то апофема равна ( \frac{a\sqrt{3}}{6} ), где ( a ) - сторона равностороннего треугольника.

Для нахождения стороны треугольника можно составить уравнение:
[ \frac{a\sqrt{3}}{6} = 3\sqrt{2} ]
[ a = 18 \sqrt{6} ]

Итак, площадь равностороннего треугольника, вписанного в окружность, равна:
[ \frac{(18\sqrt{6})^2\sqrt{3}}{4} = 486 \, см^2 ]