В прямоугольнике ABCD точка M - середина стороны DA, AB=28, BC=45. Отрезки AC и MB пересекаются в точке K. Найдите BK

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку M - середина стороны DA, то AM=MD=AB/2=14.
Так как AC и MB пересекаются в точке K, то треугольники AKM и BKM подобны, так как у них равны углы AKM и BKM (оба прямые, так как AK и MB пересекаются) и углы AMK и BMK (как вертикальные углы).
Следовательно, AK/BK = AM/BM = 14/BM.
Заметим, что треугольник ABC прямоугольный, так как у него два перпендикуляра AC и BC. Тогда, применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику ABC:
AB^2 + BC^2 = AC^2,
28^2 + 45^2 = AC^2,
784 + 2025 = AC^2,
2809 = AC^2,
AC = sqrt(2809) = 53.
Так как AM = 14 и AK = AC - CK, то AK = 53 - CK, и 14/BM = 14/(53 - CK).
Отсюда можно выразить CK:
14/(53 - CK) = 14/BM,
53 - CK = BM,
BM + CK = 53,
Но BM + CK = AB = 28.
Следовательно, 28 = 53,
CK = 53 - 28,
CK = 25.
Таким образом, BK = AB - CK = 28 - 25,
BK = 3.