1)Вершина С равностороннего треугольника АВС, сторона которого 8 см, удалена от плоскости α на расстояние 2корней из 3 см. Вычислите угол между плоскостями треугольника АВС и α, если сторона АВ лежит в плоскости α. 2)К плоскости прямоугольника с середины большей стороны проведен перпендикуляр. Его конец удален от одной из диагоналей на 30 см. Найдите длину перпендикуляра, если стороны прямоугольника равны 45 см и 60 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Поскольку вершина С равностороннего треугольника АВС находится на расстоянии 2√3 см от плоскости α, то высота треугольника из вершины С на плоскость α равна 2√3 см. Так как треугольник равносторонний, то высота, проведенная из вершины на сторону треугольника, делит ее на две равные части, а значит, расстояние от точки пересечения высоты с вершиной до ближайшей стороны равно 4√3 см.
Поэтому, угол между плоскостью треугольника АВС и плоскостью α можно найти, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами 4√3 см и 4 см:

(угол в радианах) = arctg(4√3/4) = arctg√3 ≈ 60°.

Ответ: угол между плоскостями треугольника АВС и альфа равен примерно 60°.

2) Поскольку прямоугольник является четырехугольником, в который можно вписать прямоугольный треугольник, проведенный из середины большей стороны прямоугольника, то вертикаль уже равна 30 см, так как является катетом треугольника. Далее, найдем противоположную катету прямоугольного треугольника, зная, что стороны прямоугольника равны 45 см и 60 см:

Меньшая сторона прямоугольника = 45 см, поэтому бОльшая сторона прямоугольника = 60 см, так как стороны прямоугольника относятся как 3:4.

Теперь найдем длину противоположной катеты прямоугольного треугольника:

(c = \sqrt{60^2 - 30^2} = \sqrt{3600 - 900} = \sqrt{2700} = 30\sqrt{3} \approx 51,96 \, см.)

Ответ: длина перпендикуляра, проведенного из середины большей стороны прямоугольника, равна приблизительно 51,96 см.