В прямоугольном треугольнике ABC медиана CM равна 6 и делит прямой угол C в отношении 1 : 2. Найти площадь треугольника ABC. В ответе запишите √3∙S_ABC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка D - середина гипотенузы AB.
Так как CM - медиана, то BM = MC = 6.
Также у нас есть, что угол C делится в отношении 1:2, значит BD:DC = 1:2.
Так как D - середина гипотенузы, то BD = AD.
Пусть BD = AD = x, DC = 2x.
Тогда в прямоугольном треугольнике BCD применяем теорему Пифагора:
x^2 + (2x)^2 = 6^2
5x^2 = 36
x^2 = 36/5
x = 6/√5

Теперь можем найти площадь треугольника ABC:
S_ABC = 1/2 AB CM
S_ABC = 1/2 2x 6
S_ABC = x 6
S_ABC = 6 6/√5
S_ABC = 36/√5
S_ABC = √3 6 6
Ответ: √3 * S_ABC = 36.