ABC – равносторонний треугольник со стороной a; AA0; BB0 и CC0 -
высоты треугольника ABC. D ∈ AC и AD:DC = 3: 5; E ∈ CC0 и C0E = 2EC;
K ∈ AA0 и AK:KA0 = 4: 1; M – середина BB0; N ∈ CC0 и CN: NC0 = 5: 1.
Найдите площадь шестиугольника ADEKMN.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку треугольник ABC равносторонний, то высоты AA0, BB0 и CC0 будут пересекаться в одной точке – центре окружности, описанной вокруг треугольника ABC.

Посмотрим на пропорции, заданные условием:

Так как M – середина BB0, то BM = 0.5BB0 = 0.5a, а BM = 0.5MC = 0.5 * 0.5a = 0.25a.

Также из свойств равностороннего треугольника:
BN = 2/3 BB0 = 2/3 a.

Теперь можем найти площадь шестиугольника ADEKMN:
S(ADK) = 0.5 AD AK sin(60) = 0.5 3x 4y sin(60) = 1.5xy.
S(AEK) = 0.5 AK C0E sin(120) = 0.5 4y 3EC sin(120) = 6ysin(120).
S(EMN) = MNNMSC = 0,5 BM CN sin(120) = 0,5 0,25a 5z sin(120) = 0,125az √3 / 2.
S(ABC) = 0.5 AB CC0 = 0,5 a 3EC sin(60) = 0,5 a 3 / degr sin(60) = 1.5a.
S(BMN) = 0.5 BB0 BN sin(60) = 0.5 a 2 / degr sin(60) = 1a /.

Площадь шестиугольника ADEKMN равна:
S(ADEKMN) = S(ADK) + S(AEK) + S(EMN) - S(ABC) - S(BMN) =
1,5xy + 6ysin120 + 0,125az√3/2 - 1,5a - a =
1,5xy + 6ysin120 + 0,125az√3/2 - 1,5a - a.