Две вершины параллелограмма и точка пересечения диагоналей лежат в одной плоскости. Принадлежат ли две другие вершины параллелограмма этой плоскости? Докажите.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Да, две другие вершины параллелограмма также лежат в этой плоскости.

Пусть дан параллелограмм ABCD, где точка пересечения диагоналей - точка O. Проведем от точек A и C линии, параллельные диагонали BD. Обозначим точки пересечения этих линий с диагональю BD через M и N соответственно.

Так как параллелограмм ABCD, то AM = BN и CM = DN (по свойствам параллельных прямых). Также, так как AD || BC, то угол AOB = угол COD (так как соответственные углы при параллельных прямых равны).

Так как треугольники AOB и COD имеют общий угол AOD, а также равными соответственными сторонами (диагоналями), то они равны по двум сторонам и общему углу, следовательно, треугольники AOB и COD равны между собой и равны по всем сторонам и углам.

Таким образом, отрезки AM и CN равны между собой, а следовательно, точки M и N совпадают. Из этого следует, что точки B и D лежат на отрезке MN, который лежит в той же плоскости, что и точки A, C и O.

Таким образом, все вершины параллелограмма ABCD лежат в одной плоскости.