2.010: Докажите что середины рёбер AP,CP,BC,AB тетраэдра PABC лежат в одной плоскости. Определите вид фигуры, вершинами которой служат эти точки.
2.012 Даны два параллелограмма ABCD и ABPK не лежащие в одной плоскости. Докажите что треугольник AKD и BCP равны

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство для задачи 2.010:

Пусть M, N и O - середины ребер AP, CP и BC соответственно.
Так как M, N и O являются серединами ребер тетраэдра PABC, то AM = MP, CN = NP и BO = OC.

Треугольник APM подобен треугольнику AOB и у них соответственные стороны пропорциональны (по признаку середины), то есть AM/AO = MP/OB.
Треугольник CNP подобен треугольнику COB и у них соответственные стороны пропорциональны (по признаку середины), то есть CN/CO = NP/OB.

С учетом этих равенств получаем:
AM/AO = CN/CO
AO/CO = AM/CN
Таким образом, треугольники AOC и MCN подобны, и у них соответственные стороны пропорциональны.

По аналогии докажем, что треугольники BON и PMB подобны и у них соответственные стороны пропорциональны.

Таким образом, треугольники AOC, MCN, BON и PMB равнобедренные и подобны между собой. Следовательно, середины ребер AP, CP, BC и AB лежат в одной плоскости, которая представляет собой параллелограмм.

Ответ: Эти точки образуют параллелограмм.