В параллелограмме ABCD на диагонали AC отмечены точки Е и P Так что AE =CP и эти отрезки меньше половины диагонали AC Докажите что четырехугольник EBPD параллелограмм?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем, что четырехугольник EBPD действительно является параллелограммом.

По условию задачи AE = CP, а также AE < AC/2 и CP < AC/2. Таким образом, точки E и P лежат внутри треугольника ABC на сторонах AC внутри отрезков, меньших половины диагонали AC.

Так как AE = CP и E и P лежат на одной линии AC, то E и P делят диагональ AC на две равные части. То есть, точка M, середина диагонали AC, является также серединой отрезка EP.

Для доказательства параллелограмм EDPB проведем отрезок BD и докажем, что он равен EP и параллелен EP.

Из условия AB || CD следует, что угол B = угол C, также AB = CD и BC = A
Можно рассмотреть подобные треугольники с вершинами B и A. Получается что между BD и AB существует соотношение AD/BC=BD/AB и AD = AB*BD/BC.

Рассмотрим треугольники CBP и DAE. У нас есть: CP = AE, BC = AD и угол B = угол C. По угловой стороне треугольники равны, следовательно, DP = BE.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник EBPD является параллелограммом.